BAB V PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR BIDANG

Bentuk umum persamaan parametrik dari suatu kurva pada bidang adalah

Jenis kurva bidang ada 4 macam, yaitu

1. kurva tidak tertutup tidak sederhana
2. kurva tidak tertutup sederhana
3. kurva tertutup tidak sederhana
4. kurva tertutup sederhana

suatu kurva dikatakan tertutup apabila titik ujung dan titik pangkalnya berimpit. Suatu kurva dikatakan sederhana apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai t atau lebih memberikan titik-titik yang sama).

Persamaaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan kedalam persamaan kartesius dengan cara menghilangkan parameternya dengan menggunakan substitusi atau menentukan hibungan dari parameternya

Contoh

Ubahlah persamaan parametrik berikut ini menjadi persamaan kartesius. Gambarlah grafik dari persamaan parametrik dengan batas-batas parameter yang diketahui. Sebutkan jenis kurva itu, apakah sederhana, tidak sederhana, tertutup atau tidak tertutup

Penyelesaian

Jenis kurva diatas adalah kurva tidak tertutup dan sederhana

Vektor dalam Bidang

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Vektor digambarkan anak panah(ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor.

Vektor dapat dinyatakan dengan simbol a atau AB atau lainnya.

Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vektor vektor lainya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vektor demikian disebut vektor posisi (vektor letak)

Pada gambar dibawah ini vektor-vektor posisi titik-titik A, B, C, dan P masing masing terhadap titik O berturut-turut adalah ­a, b, c, p.

Penjumlahan vektor

Cara segitiga (aturan segitiga)

Untuk memperoleh jumlah (resultante) dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektorv yang pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung v

Cara/aturan jajaran genjang

Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vektor v sehingga pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. Selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka vektor u+ v adalah vekttor yang bertitik pangkal berimpit dengan pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang

Pengurangan Vektor

Definisi

u – v = u + (-v)

Cara/aturan segitiga

1.       Cara/aturan jajaran genjang

Teorema:

Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini.

a.       u + v = v + u

b.      (u + v) + w = u + (v + w)

c.       u + o = o + u = u

d.      u + (-u) = o

e.      a(bu) = (ab)u = u(ab)

f.        a(u + v) = au + av

g.       (a + b)u = au + bu

h.      0 u = u 0 = o

i.         1 u = u

Apabila u = <u₁ , u₂> maka

Perkalian vektor

Sekarang kita akan membicarakan perkalian dua vektor u dan v. Perkalian ini dinamakan hasil kali titik atau hasil kali skalar yang dilambangkan dengan u . v (dibaca u dot v) perkalian ini didefinisikan sebagai berikut

Jika u ≠ o dan v ≠ o maka u . v = |u|v|cos θ .

θ adalah sudt terkecil dan positif yang dibentuk oleh u dan v , sehingga 0 ≤ θ ≤ π 

Teorema :

Jika u, v dan w vektor-vektor sebarang dan c suatu skalar, maka

1     1.      u . v = v . u

       2.       u . (v + w) = u . v + u . w

       3.       c ( u . v ) = (cu) . v = u . (cv)

       4.       o . u = 0

       5.       u . u = |u|²

       6.       u . v = 0 jika dan hanya jika u Ʇ v atau u = 0 atau v = 0

BAB IV KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

     A.  KOORDINAT KUTUB (POLAR)

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka. Biasanya sinar garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti tampak pada gambar 1 sinar garis dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi dengan huruf O disebut kutub atau titik asal.

Jika dilihat dari kutub utara didapatkan gambar seperti gambar 2 berikut.

Koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dimisalkan sebuah lingkaran berpusat di O. Kemudian titik A berada pada lingakaran sehingga OA adalah sebuah jari-jari. Antara sumbu kutub dengan jari-jari, akan membentuk sebuah sudut θ. sehingga didapatlah koordinat kutub adalah (r, θ).

Hubungan Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius.

Contoh:

1.

2. 

Diketahui : <xOB = 1350 dan r = 4                                   

Ditanya : Tentukanlah koordinat B pada koordinat kartesius.

Penyelesaian :

x = r cos θ y = r sin θ

x = 4 cos 1350 y = 4 sin 1350

x = 4 (-0,707) y = 4 (0,707)

x = -2,828 y = 2,828

Sehingga koordinat kartesius B adalah (-2,828 ; 2,828)

B.   Persamaan Kutub

Jika fungsi y = x => y – x = 0

y – x = 0

r sin θ – r cos θ = 0

r (sin θ – cos θ) = 0

r ≠ 0 ; (sin θ – cos θ) = 0

sin θ = cos θ

θ = 450

Jika fungsi y + x = 0

y + x = 0

r sin θ + r cos θ = 0

r (sin θ + cos θ) = 0

r ≠ 0 ; (sin θ + cos θ) = 0

sin θ = - cos θ

θ = 1350

θ = 3/4 π rad = -1/4 π rad

Contoh :

Persamaan fungsi dalam koordinat polar dengan jari-jari 6. Tentukanlah persamaan fungsi dalam koordinat kartesius.

Penyelesaian :

Jadi, persamaan fungsi dalam koordinat polar adalah x2 + y2 = 36

BAB III : ELLIPS,PARABOLA,HIPERBOLA

BAB III

 Elips, Parabola, Hiperbola

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

   

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol. 

Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk kurva berderajat dua yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola:

Contoh kurva berderajat dua dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik. Kedudukan titik-titik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section).Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus.Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan interval nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1. 

Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar.

Macam-macam Irisan Kerucut:

1. Parabola

2. Elips

3. Hiperbola

4. Lingkaran  

Irisan kerucut (yang berbentuk parabola, elips, hiperbola) adalah  tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.  

Irisan kerucut juga dapat disebut  Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi persamaan:

                              

                                      Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0  

Sumber Smith, David E., & Latham, Martha L. (1957). The Geometry of Rene Descartes. New York : Dover Publications, Inc.

1.  PARABOLA 

     

    A. Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian hingga jarak P dari suatu titik tertentu = jaraknya dari suatu garis tertentu.

      1. Titik tertentu : focus

2    2. Garis tertentu : direktriks. 

3    3.  Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui fokus : sumbu parabola. 

      4. Perpotongan antara sumbu dan para-bola :  puncak parabola.

n

2. Persamaan Parabola Berpusat Di (0,0)

3. Persamaan Parabola Berpusat Di (a,b)

4. Garis Singgung Pada Parabola

a. kedudukan garis terhadap parabola

kedudukan garis terhadap parabola ada 3 kemungkinan yaitu:

1. Gambar (a) → Garis tidak memotong parabola
2. Gambar (b) → Garis memotong  1 titik di parabola
3. Gambar (c) → Garis memotong 2 titik di parabola 
Cara menentukan hubungan garis dengan parabola:
Misal:
Garis g: y = mx + n    …….  (1)
Parbola: y2 = 4px     ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) →  P.K baru

Missal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0  →  D = b2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 →  Garis tidak memotong parabola
2. D = 0 → Garis memotong  1 titik di parabola
3. D > 0  → Garis memotong 2 titik di parabola

b. Persamaan Garis Singgung Parabola
1) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) pada parabola
 - Parabola berpuncak di (0,0):

-  Parabola berpuncak di (a,b):

2) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) di luar parabola
 Definisi:
  Jika dari sebuah titik P(x1,y1) di luar parabola ditarik dua buah
  garis singgung, maka garis penghubung p antara kedua titik
  singgunya disebut garis polar p terhadap parabola dan P disebut titik
  polar garis p.
- Parabola berpuncak di (0,0):

-  Parabola berpuncak di (a,b):

Contoh : 

Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4x dari titik  P(-1,0)
Jawab:

3) Menentukan P.G.S  parabola dengan gradien tertentu (m)
- Parabola berpuncak di (0,0):

- Parabola berpuncak di (a,b): 

2. ELIPS 

       1.  Definisi Elips 
Elips adalah himpunan semua titik dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api (F1 dan F2). Jumlah jarak tetap = 2a (a>0) dan jarak F1 dan F2 adalah 𝐹1𝐹2  = 2c

2. Persamaan Elips
a.  Berpusat di O(0,0)

b. Berpusat di M(p,q)

Contoh:

3. Bentuk Umum Elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:  Ax2 + By2 +Cx + Dy + E = 0 Dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A≠0, B≠0, Tanda A dan B sama, yang diperoleh dari persamaan elips.

4. Persamaan Garis Singgung Elips
a. Hubungan Garis dan Elips
Kedudukan garis terhadap Elips ada 3 kemungkinan, yaitu:

1. Gambar (a) → Garis memotong 2 titik di elips
2. Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di elips
3. Gambar (c) → Garis tidak memotong elips 

Cara menentukan hubungan garis dengan elips:
Misal:
Garis:  y = ax + b    …….  (1)
Elips:   Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0   ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) →  P.K baru
Misal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0  →  D = b2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 →  Garis tidak memotong Elips
2. D = 0 → Garis memotong  1 titik di Elips
3. D > 0  → Garis memotong 2 titik di Elips

b. Menentukan P.G.S  pada Elips di suatu Titik pada Elips

c. Menentukan P.G.S pada elips dengan gradien tertentu 

3. HIPERBOLA 

       1. Pengertian hiperbola 
Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya  terhadap dua titik tertentu sama. Kedua titik tertentu itu disebut  fokus (titik api) hiperbola, selisih jarak yang sama = 2a (a>0), dan jarak kedua fokus = 2c dengan 2c > 2a.

2. Persamaan Hiperbola Berpusat di O(0,0)

3. Persamaan Hiperbola Berpusat di (p,q)

4. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola 
Bentuk umum persamaan hiperbola adalah: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0,
dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A ≠ 0, B ≠ 0, dan A ≠ B  

5. Asimtot Pada Hiperbola 
Asimtot suatu garis lengkung adalah sebuah garis lurus yang makin 
lama makin didekati oleh garis lengkung itu tetapi tidak pernah 
berpotongan.

6. Persamaan Garis Singgung Hiperbola 
1) persamaan garis singgung melalui p(x1,y1)

2) Persamaan Garis Singgung yang Bergradien m pada Hiperbola

Contoh: