BAB VI KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Koordinat Kartesius dan Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

A.           Koordinat Kartesius dalam Ruang Dimensi Dua

Pada pembahasan sebelumnya kita telah membahas tentang sistem kartesius pada bidang yaitu sistem kartesius pada dimensi 2 atau 2D. dimana untuk sistem koordinat kartesius 2D ini kita hanya mengenal 2 sumbu koordinat yaitu sumbu x dan sumbu y sehingga membentuk suatu bidang. Maka bagaimana dengan sisitem koordinat kartesius pada ruang dimensi tiga atau 3D ini sendiri? Pada sisitem koordinat kartesius 3D ini kita mengeal dengan adanya 3 sumbu yang terdapat pada koordinat kartesiusnya yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z sehingga akan berbentuk ruang bukan bidang yang terdapat pada koordinat kartesius 2 D. Adapun gambar sisitem koordinat kartesius 3D adalah sebagai berikut :



Pada gambar diatas sumbu yang berwarna merah adalah sumbu x, sumbu yang berwarna hijau adalah sumbu y dan sumbu yang berwarna biru adalah sumbu z. Ketiga sumbu ini menentukan 3 bidang yaitu bidang xy, bidang x zdan bidang yz.

Dan pada sistem koordinat kartesius 2D kita mengenal dengan adanya istilah kuadran yaitu kuadran I, II, III dan IV. Sedangkan pada sistem koordinat kartesius 3D kita akan mengenal istilah oktan. Dimana oktan pada koordinat artesius ini ada 8 oktan. Dimana gambar kedelapan oktan pada koordinat kartesius 3D ini adalah sebagai berikut :

Terlihat pada gambar diatas bahwa oktan I, II, III dan IV berada di atas bidang xy sedangkan untuk oktan V, VI, VII dan VIII berada dibwah bidang xy. Posisi oktan-oktan ini berlawanan dengan arah jarum jam. Dimana adapun syarat atau ketentukan untuk nilai x, y dan z untuk setiap oktan-oktannya yaitu sebagai berikut :

1.    Oktan I = ( +x, +y, +z)

2.    Oktan II = ( +x, -y, +z)

3.    Oktan III = ( -x, -y, +z)

4.    Oktan IV = ( -x, +y, +z)

5.    Oktan V = ( +x, +y, -z)

6.    Oktan VI = ( +x, -y, -z)

7.    Oktan VII = ( -x, -y, -z)

8.    Oktan VIII = ( -x, +y, -z)

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat xy, xz, yz dan arah positif atau negative. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (triple) tiga ilangan, misalnya titik P(x,y,z). pasanagn pertama yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua yaitu y disebut koordinat y atau ordinat. Dan pasangan ketiga disebut  koordinat z atau aplikat.

Selanjutnya untuk menggambar sebuah titik pada koordinat kartesius 3D kita tidak perlu menggambar bangun ruangnya tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, orninat dan aplikatnya.

Contoh :

Tentukan posisi letak titik A(2,1,2) pada sistem koordinat kartesius 3D. tentukan juga terdapat pada oktan berapa titik A tersebut !

Jawab :

Diketahui A(2,1,2)

Maka untuk menggambar titik A tersebut kita langsung saja dengan cara pertama melangkah 2 satuan ke arah sumbu x positif kemudian lanjutkan melangkah 1 satuan ke arah sumbu y positif dan terakhir melangkah 2 satuan ke arah sumbu z positif. Maka gambarnya seperti pada tampak dibawah ini :

Karena titik A(2,1,2) maka berdasarkan syarat atau ketentuan titik di tiap oktan maka ini sesuai dengan Oktan I = ( +x, +y, +z). maka didapatlah bahwa titik A(2,1,2) berada pada Oktan I pada sistem koordinat kartesius 3D.

B.           Jarak Dua Titik

Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar dibawah ini, kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x₁, y₁, z^­­₁).

|OA| = x₁

|AB| = y₁

|BP| = z₁

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

|OB|² = |OA|² + |AB|²

|OB|² = x₁² + y₁²

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :

|OP|² = |OB|² + |BP|²

|OP|^{2 =} x₁² + y₁² + z₁² (jika jarak O ke P(x₁,y₁,z₁))

Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

Mencari jarak suatu titik ke titik yang lain

Dimisalkan titik A(x₁,y₁,z₁) dan titik B(x₂,y₂,z₂), maka untuk mencari jarak AB kita gunakan :

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Panjang Vektor :

Diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ >, maka panjang vektor a adalah :

 

Jika diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ > dan b = < b₁, b₂, b^­­₃ > maka jarak vektor AB :

Jika vektor u = < u₁, u₂, u^­­₃ > dan vektor v = < v₁, v₂, v^­­₃ > maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan vektor pada bidang, yaitu :

Apabila vektor u tegak lurus terhadap vektor v maka dapat dibuktikan dengan :

Perkalian Vektor

Jika diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ > dan b = < b₁, b₂, b^­­₃ > maka :

Hasil Kali Silang Dua Vektor

C.            Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor bukan hanya berada pada bidang tapi bisa juga berada pada ruang. Pada bidang suatu titik A dapat dinyatakan dengan dua koordinat yaitu absis dan ordinat, misalnya A (x₁,y₁). 

Sehingga dapat diturunkan seperti sama halnya dengan vector pada bidang bahwa :

Kita ingat lagi bahwa hasil kali titik dari dua vector adalah suatu scalar. Maka seperti pada vector bidang pula bahwa jika dua vector saling tegak lurus maka hasil kali titiknya sama dengan nol. Dan sebaliknya apabila hasil kali dari dua vector yang bukan vektor nol sama dengan nol maka dua vector tersebut saling tegak lurus. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut :

D.           Menggambar Sebuah Persamaan Pada Sistem Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga

Sama halnya dengan menggambar persamaan di bidang dimensi dua, pada ruang dimensi tiga ini saat kita akan menggambar dari suatu persamaan yang diketahui maka kita cari terlebih dahulu titik potong dari ketiga sumbu Dimana untuk titik potong di sumbu x maka y = z = 0, untuk titik potong si sumbu y maka x = z = 0 dan untuk titik potong di sumbu z maka x = y = 0.

Sebagai contoh misalnya diketahui sebuah persamaan yaitu x + 2y + z = 4. Maka pertama kita harus mencari titik-titik potongnya dahulu yaitu :

1.    Titik potong di sumbu x maka y = z = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

x + 2(0) + 0 = 4

x = 4

Maka titik potong di sumbu x adalah (4,0,0)

2.    Titik potong di sumbu y maka x = z = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

0 + 2y + 0 = 4

2y = 4

y =2

Maka titik potong di sumbu x adalah (0,2,0)

3.    Titik potong di sumbu z maka x = y = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

0 + 2(0) + z = 4

z = 4

Maka titik potong di sumbu x adalah (0,0,4)

Setelah kita dapat titik-titik potongnya maka kita dapat langsung menentukan letak dari titik-titik potong tersebut. Dan dengan bantuan geogebra didapatlah gambar dari persamaan x + 2y + z = 4 adalah sebagai berikut :