BAB I
TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT
Okeeee selamat datang di blog
pembelajaran matematika geometri analitik bidang dan ruang ,gak usah terlalu serius bacanya nanti muntah-muntah 😆karena apa saya juga begitu ,lah kok curhat ia 😁dan maafkan
ia kalau misalnya tulisannya berantakan kita lagi tahap belajar bukan penulis profesional.Dengan adanya blog ini semoga bisa sedikit membantu tugas teman-teman semua 😄 . Jangan
lupa sempatkan waktu untuk menulis di kolom komentar nya ia J
Oke langsung saja ke pokok
bahasan nya. J
A. Titik
Sebelum masuk ke
pokok permasalahan titik ,terlebih dahulu kita mengetahui diagram kartesius
yang mana absis dan mana ordinat ,karena ini penting sekali. Ordinat adalah Y
dan Absis adalah X. Adapun bentuk dari
diagram kartesius adalah sebagai berikut :
Titik adalah
sesuatu yang memiliki kedudukan yang tidak mempunyai panjang dan tinggi.
Apakah posisi
titik harus selalu berada di bidang kartesius.
Teorema-teorema
dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems)sebagai
berikut :
1. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik Padalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d .
2. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l .
3. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus terhadap ruas garis dan membagi menjadi dua bagian sama besar.
4. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
5. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebutbisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2.
6. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).
7. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.
8. Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
9. Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.
1.2 Pemecahan Masalah Polya
1. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik Padalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d .
2. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l .
3. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus terhadap ruas garis dan membagi menjadi dua bagian sama besar.
4. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
5. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebutbisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2.
6. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).
7. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.
8. Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
9. Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.
1.2 Pemecahan Masalah Polya
Contoh 1
Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang
perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak
tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang
yang ditempuh olehmngf
perenang tersebut.
Tahap pemecahan masalah :
1)
Understanding the Problem
a.
Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !
Misalkan
kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C
Misalkan
jarak C ke A adalah dAC dan jarak C ke B adalah dCB.
Maka
posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga dCA
dan dCB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan titik-titik tersebut ?
b.
Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Bentuk
kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB selalu tetap.
c.
Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
Jarak
titik A ke B
d.
Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
Titik
A dan B berbeda posisi
Jarak
dCA dan dCB selalu tetap yaitu dCA = dCB
untuk meskipun posisi C berubah-ubah
2)
Devising a Plan
Strategi
pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :
a.
Membuat diagram / gambar
Menggambarkan
posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.
b.
Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat
digunakan
Memeriksa
jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah
ini.
3)
Carrying Out the Plan
a. Membuat diagram / gambar
b.
Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai
Teorema 2.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis
(disebut perpendicular bisector).yang
tegak lurus terhadap ruas garis
dan membagi
menjadi dua bagian sama besar
Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan
perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah ruas garis yang tegak lurus terhadap
ruas garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu
1)
Looking Back
Langkah
terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi
terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a.
Memeriksa dengan pembuktian : buktikan teorema 2.3
berdasarkan masalah tersebut secara deduktif
b.
Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan
argumentasi (reasonable) dengan
menggunakan koordinat dan aljabar
Misalkan
koordinat titik C(x, y) di mana dCA = dCB dengan
koordinat A(xa, ya) dan B(xb, yb)
maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C1(x1, y1),
C2(x2, y2), … Cn(xn, yn)
yaitu : (a) jika ruas garis
tegak lurus sumbu x maka y1 = y2
= … = yn
(b)
jika ruas garis
tegak lurus sumbu y maka x1 = x2
= … = xn
Selanjutnya
harus dibuktikan bahwa garis C1C2 tegak lurus
Dengan
bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi untuk tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai
berikut:
Pembuktian Teorema 1.3
Tahap 1 : Akan
dibuktikan untuk sembarang titik pada kedudukan tersebut memenuhi
kondisi-kondisi berikut :
Diketahui : Titik
A dan B
Ruas garis
tegak lurus dan membagi ruas garis
Ditanyakan : Apakah
untuk sembarang titik P pada ruas garis
berjarak sama dari A dan B yaitu
?
Rencana : Gambar/Sketsa
permasalahan :
Harus
dibuktikan
agar diperoleh :
Bukti tahap
1
Pernyataan
|
Alasan
|
1.Ruas garis CD adalah ruas garis membagi dua dan tegak
lurus (^) ruas garis AB
2.
Ukuran sudut PEA dan
sudut PEB sama yaitu sudut PEA kongruen dengan sudut PEB.
3.
Ukuran panjang ruas
garis AE kongruen dengan ruas garis EB.
4. PE kongruen dengan PE
5. Segitiga PEA kongruen dengan Segitiga PEB
6.
|
1. Diketahui
2. Kedua
sudut adalah sudut siku-siku. Semua sudut siku-siku kongruen
3. Agar
dapat membagi dua sama besar maka ruas garis dibagi menjadi bagian-bagian
yang kongruen
4. Sifat
refleksif
5. Kekongruenan
dua segitiga (s.a.s)
6. Hukum
kongruensi
|
02.57
1.
Titik
Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut
dapat dilalui oleh garis
2.
Titik
di Luar Garis
Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut
tidak dapat dilalui
oleh garis .
3.
Titik
Terletak pada Bidang
Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut
dapat dilalui oleh bidang α
4.
Titik
di Luar Bidang
Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik
tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α
Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
1.
Dua
Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu
terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik
persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada
lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit
2.
Dua
Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak
pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
3.
Dua
garis bersilangan
Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak
sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
4.
Aksioma
Dua Garis Sejajar
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu
hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Dalil tentang dua garis sejajar :
Dalil tentang dua garis sejajar :
1. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan
garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..
2. Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar
garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada
sebuah bidang.
3. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang,
maka garis a juga menembus bidang.
Kedudukan Garis Terhadap Bidang
1.
Garis
Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang
itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
2.
Garis
Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu
tidak memiliki satupun titik persekutuan.
3.
Garis
Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis
tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan
ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :
1.
Rusuk - rusuk kubus yang
terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk EF, EH, FG, dan GH
2.
Rusuk - rusuk kubus yang
sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
3.
Rusuk - rusuk kubus yang
memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang
1.
Jika garis g sejajar dengan
garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang
α
2.
Jika bidang α melalui garis g
dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan
bidang β akan sejajar terhadap garis g
3.
Jika garis g sejajar dengan
garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap
bidang α
4.
Jika bidang α dan bidang β
berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong
antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g..
Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
1.
Buat bidang β melalui garis g
2.
Tentukan garis potong abtara
bidang α dan β, yaitu garis (α, β)
3.
Titik potong gartis g dengan
garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T
Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain
1.
Dua
bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak
pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β
2.
Dua
Bidang Sejajar
Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak
memiliki satupun titik persekutuan..
3.
Dua
Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat
memiliki tepat sebuah garis persekutuan..
4.
Tiga
Bidang Berpotongan
JIka tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis
persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu
adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik..
Jarak dari Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang
1.
Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ
2.
Jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik P dan garis q ditentukan dengan cara menarik
garis dari titik P tegak lurus garis q, maka garis PP' adalah jarak antara
titik P dan garis q, kemudian untuk memudahkan penghitungan kita buat bentuk
segitiga. Apabila segitiga yang terjadi berbentuk segitiga sebarang maka
penyelesaiannya bisa kita gunakan aturan cosinus, aturan sinus, atau
perbandingan sudut trigonometri yang berelasi..
3.
Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α adalah panjang ruas garis
PP', dengan P' merupakan proyeksi titk P pada bidang α.
Untuk menentukan
letak/posisi suatu titik pada bidang datar diperlukan suatu patokan .Patokan mula
itu terdiri atas dua garis yang saling tegak lurus,salah satu
mendatar(horizontal) yang biasa disebut sumbu x dan yang lain tegak(vertical)
yang biasa disebut sumbu y. Titik potong dua sumbu tersebut biasa diberi
lambing 0 dan disebut titik asal (awal). Dari titik 0 ke kanan atau keatas
disebut arah positif dan dari titik 0 ke kiri atau kebawah disebut arah
negatife. Letak suatu titik P dikaitkan dengan dua bilangan yang dinamakan
koordinat x dan koordinat y dari titik P tersebut. Koordinat x titik P atau
disebut absis titik P adalah koordinat x proyeksi P pada sumbu x. Koordinat y
titik P atau disebut ordinat titik P adalah koordinat y proyeksi P pada sumbu
y. koordinat-koordinat titik P adalah pasangan bilangan terurut (x,y). Ingat
bahwa (x,y) = (y,x).
Pasangan-pasangan
bilangan terurut (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a=c dan b=d. Sumbu-sumbu
datar menjadi 4 bagian (kuadrat) yaitu kuadran I ,kuadran II,kuadran III dan
kuadran IV. Setiap titik pada bidang datar dapat dikaitkan dengan tepat satu
bilangan real terurut yang menyatakan
koordinat-koordinat titik tersebut,atau dengan kata lain suatu sistem koordinat
Kartesius pada bidang meletakan pemadanan (korespondensi) satu-satu antara
titik-titik pada bidang dan pasangan-pasangan
bilangan real terurut dari ㎡.
Koordinat-koordinat
titik tengah sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah
Apabila
diketahui P(x1, y1) dan Q(x2, y2) serta titik T pada
ruas garis PQ sedemikian hingga
[PT] : [TQ] = m : n,maka
koordinat-koordinat titik T adalah :
x = nx1 + mx2/m+n
y = ny1 +my2/m+n
0 komentar:
Posting Komentar