GEOMETRI ANALITIK : BAB I TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT O

BAB I

TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

Okeeee selamat datang di blog pembelajaran matematika geometri analitik bidang dan ruang ,gak usah terlalu serius bacanya nanti muntah-muntah 😆karena apa saya juga begitu ,lah kok curhat ia 😁dan maafkan ia kalau misalnya tulisannya berantakan kita lagi tahap belajar bukan  penulis profesional.Dengan adanya blog ini semoga bisa sedikit membantu tugas teman-teman semua 😄 . Jangan  lupa sempatkan waktu untuk menulis di kolom komentar nya ia J
Oke langsung saja ke pokok bahasan nya. J


   A.  Titik

Sebelum masuk ke pokok permasalahan titik ,terlebih dahulu kita mengetahui diagram kartesius yang mana absis dan mana ordinat ,karena ini penting sekali. Ordinat adalah Y dan Absis adalah X. Adapun bentuk  dari diagram kartesius adalah sebagai berikut :







Titik adalah sesuatu yang memiliki kedudukan yang tidak mempunyai panjang dan tinggi.
Apakah posisi titik harus selalu berada di bidang kartesius.

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems)sebagai berikut :
 1. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik Padalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d .    






2. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l .




3. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi menjadi dua bagian sama besar. 





4. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
 


5. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebutbisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2. 


6. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle). 







7. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.






8. Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.







9. Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.  



1.2       Pemecahan Masalah Polya
Contoh 1
Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh olehmngf perenang tersebut.
Tahap pemecahan masalah :
1)         Understanding the Problem
a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !
Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C
Misalkan jarak C ke A adalah dAC dan jarak C ke B adalah dCB.
Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik-titik tersebut ?
b.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Bentuk kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB selalu tetap.
c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
Jarak titik A ke B
d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
Titik A dan B berbeda posisi
Jarak dCA dan dCB selalu tetap yaitu dCA = dCB untuk meskipun posisi C berubah-ubah
2)        Devising a Plan
Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :
a.          Membuat diagram / gambar
Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.
b.         Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan
Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.
3)        Carrying Out the Plan


a.       Membuat diagram / gambar

b.         Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai
Teorema 2.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar
Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah ruas garis yang tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu  dan membagi ruas garis  menjadi dua bagian sama panjang seperti digambarkan sebagai berikut:




1)        Looking Back
Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a.         Memeriksa dengan pembuktian : buktikan teorema 2.3 berdasarkan masalah tersebut secara deduktif
b.         Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar
Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana dCA = dCB dengan koordinat A(xa, ya) dan B(xb, yb) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C1(x1, y1), C2(x2, y2), … Cn(xn, yn) yaitu : (a) jika ruas garis  tegak lurus sumbu x maka y1 = y2 = … = yn
(b) jika ruas garis  tegak lurus sumbu y maka x1 = x2 = … = xn
Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C1C2 tegak lurus

Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi  untuk tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai berikut:



Pembuktian Teorema 1.3
Tahap 1        :  Akan dibuktikan untuk sembarang titik pada kedudukan tersebut memenuhi kondisi-kondisi berikut :
Diketahui    :  Titik A dan B
                       Ruas garis  tegak lurus dan membagi ruas garis
Ditanyakan :  Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis  berjarak sama dari A dan B yaitu  ?
Rencana      : Gambar/Sketsa permasalahan :


Harus dibuktikan  agar diperoleh :
Bukti tahap 1

Pernyataan
Alasan
1.Ruas garis CD  adalah ruas garis membagi dua dan tegak lurus (^) ruas garis AB
2.      Ukuran sudut PEA dan sudut PEB sama yaitu sudut PEA kongruen dengan sudut PEB. 
3.      Ukuran panjang ruas garis AE kongruen dengan ruas garis EB.
4.       PE kongruen dengan PE

5.  Segitiga PEA  kongruen dengan  Segitiga  PEB
6.  Ruas garis PA kongruen dengan ruas garis PB
1.      Diketahui
2.      Kedua sudut adalah sudut siku-siku. Semua sudut siku-siku kongruen
3.      Agar dapat membagi dua sama besar maka ruas garis dibagi menjadi bagian-bagian yang kongruen

4.      Sifat refleksif

5.      Kekongruenan dua segitiga (s.a.s)

6.      Hukum kongruensi 



Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang
 02.57


1.       Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis
2.       Titik di Luar Garis
Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui
oleh garis .



3.       Titik Terletak pada Bidang
Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α
4.       Titik di Luar Bidang
Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α




Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
1.       Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit
2.       Dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
3.       Dua garis bersilangan
Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. 



4.       Aksioma Dua Garis Sejajar
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Dalil tentang dua garis sejajar :
1.      Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..
2.       Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada sebuah bidang.
3.       Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang, maka garis a juga menembus bidang.

Kedudukan Garis Terhadap Bidang
1.       Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
2.       Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.



3.       Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..

Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini : 



1.       Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk EF, EH, FG, dan GH
2.       Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
3.       Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang
1.       Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α
2.       Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g
3.       Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α
4.       Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g..


Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
1.       Buat bidang β melalui garis g
2.       Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)
3.       Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain
1.       Dua bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β
2.       Dua Bidang Sejajar
Bidang α dan β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan..
3.       Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat memiliki tepat sebuah garis persekutuan..



4.       Tiga Bidang Berpotongan
JIka tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik..



Jarak dari Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang
1.       Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ
2.       Jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik P dan garis q ditentukan dengan cara menarik garis dari titik P tegak lurus garis q, maka garis PP' adalah jarak antara titik P dan garis q, kemudian untuk memudahkan penghitungan kita buat bentuk segitiga. Apabila segitiga yang terjadi berbentuk segitiga sebarang maka penyelesaiannya bisa kita gunakan aturan cosinus, aturan sinus, atau perbandingan sudut trigonometri yang berelasi..
3.       Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α adalah panjang ruas garis PP', dengan P' merupakan proyeksi titk P pada bidang α. 







Untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada bidang datar diperlukan suatu patokan .Patokan mula itu terdiri atas dua garis yang saling tegak lurus,salah satu mendatar(horizontal) yang biasa disebut sumbu x dan yang lain tegak(vertical) yang biasa disebut sumbu y. Titik potong dua sumbu tersebut biasa diberi lambing 0 dan disebut titik asal (awal). Dari titik 0 ke kanan atau keatas disebut arah positif dan dari titik 0 ke kiri atau kebawah disebut arah negatife. Letak suatu titik P dikaitkan dengan dua bilangan yang dinamakan koordinat x dan koordinat y dari titik P tersebut. Koordinat x titik P atau disebut absis titik P adalah koordinat x proyeksi P pada sumbu x. Koordinat y titik P atau disebut ordinat titik P adalah koordinat y proyeksi P pada sumbu y. koordinat-koordinat titik P adalah pasangan bilangan terurut (x,y). Ingat bahwa  (x,y) = (y,x).
Pasangan-pasangan bilangan terurut (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a=c dan b=d. Sumbu-sumbu datar menjadi 4 bagian (kuadrat) yaitu kuadran I ,kuadran II,kuadran III dan kuadran IV. Setiap titik pada bidang datar dapat dikaitkan dengan tepat satu bilangan real terurut  yang menyatakan koordinat-koordinat titik tersebut,atau dengan kata lain suatu sistem koordinat Kartesius pada bidang meletakan pemadanan (korespondensi) satu-satu antara titik-titik pada bidang dan pasangan-pasangan  bilangan real terurut dari ㎡.
Koordinat-koordinat titik tengah sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah
 x= 1/2 ((x1+ x2) ; y =  1/2 (y1,y2) …………………………………………..(1)
Apabila diketahui P(x1, y1)  dan Q(x2, y2) serta titik T pada ruas garis PQ sedemikian hingga                                   
[PT] : [TQ] = m : n,maka koordinat-koordinat titik T adalah :
 x = nx1 + mx2/m+n
 y = ny1 +my2/m+n


Diposting oleh di 06.45

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)