BAB V PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR BIDANG

Bentuk umum persamaan parametrik dari suatu kurva pada bidang adalah

Jenis kurva bidang ada 4 macam, yaitu

1. kurva tidak tertutup tidak sederhana
2. kurva tidak tertutup sederhana
3. kurva tertutup tidak sederhana
4. kurva tertutup sederhana

suatu kurva dikatakan tertutup apabila titik ujung dan titik pangkalnya berimpit. Suatu kurva dikatakan sederhana apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai t atau lebih memberikan titik-titik yang sama).

Persamaaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan kedalam persamaan kartesius dengan cara menghilangkan parameternya dengan menggunakan substitusi atau menentukan hibungan dari parameternya

Contoh

Ubahlah persamaan parametrik berikut ini menjadi persamaan kartesius. Gambarlah grafik dari persamaan parametrik dengan batas-batas parameter yang diketahui. Sebutkan jenis kurva itu, apakah sederhana, tidak sederhana, tertutup atau tidak tertutup

Penyelesaian

Jenis kurva diatas adalah kurva tidak tertutup dan sederhana

Vektor dalam Bidang

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Vektor digambarkan anak panah(ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor.

Vektor dapat dinyatakan dengan simbol a atau AB atau lainnya.

Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vektor vektor lainya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vektor demikian disebut vektor posisi (vektor letak)

Pada gambar dibawah ini vektor-vektor posisi titik-titik A, B, C, dan P masing masing terhadap titik O berturut-turut adalah ­a, b, c, p.

Penjumlahan vektor

Cara segitiga (aturan segitiga)

Untuk memperoleh jumlah (resultante) dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektorv yang pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung v

Cara/aturan jajaran genjang

Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vektor v sehingga pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. Selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka vektor u+ v adalah vekttor yang bertitik pangkal berimpit dengan pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang

Pengurangan Vektor

Definisi

u – v = u + (-v)

Cara/aturan segitiga

1.       Cara/aturan jajaran genjang

Teorema:

Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini.

a.       u + v = v + u

b.      (u + v) + w = u + (v + w)

c.       u + o = o + u = u

d.      u + (-u) = o

e.      a(bu) = (ab)u = u(ab)

f.        a(u + v) = au + av

g.       (a + b)u = au + bu

h.      0 u = u 0 = o

i.         1 u = u

Apabila u = <u₁ , u₂> maka

Perkalian vektor

Sekarang kita akan membicarakan perkalian dua vektor u dan v. Perkalian ini dinamakan hasil kali titik atau hasil kali skalar yang dilambangkan dengan u . v (dibaca u dot v) perkalian ini didefinisikan sebagai berikut

Jika u ≠ o dan v ≠ o maka u . v = |u|v|cos θ .

θ adalah sudt terkecil dan positif yang dibentuk oleh u dan v , sehingga 0 ≤ θ ≤ π 

Teorema :

Jika u, v dan w vektor-vektor sebarang dan c suatu skalar, maka

1     1.      u . v = v . u

       2.       u . (v + w) = u . v + u . w

       3.       c ( u . v ) = (cu) . v = u . (cv)

       4.       o . u = 0

       5.       u . u = |u|²

       6.       u . v = 0 jika dan hanya jika u Ʇ v atau u = 0 atau v = 0